题目

题型：解答题难度：困难来源：湖南省中考真题

如图，在平面直角坐标系xoy中，M是x轴正半轴上一点，⊙M与x轴的正半轴交于A，B两点，A在B的左侧，且OA，OB的长是方程x²-12x+27=0的两根，ON是⊙M的切线，N为切点，N在第四象限。
（1）求⊙M的直径；
（2）求直线ON的解析式；
（3）在x轴上是否存在一点T，使△OTN是等腰三角形？若存在请在图2中标出T点所在位置，并画出△OTN（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不证明，不求T的坐标）；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）解方程，得，
∵A在B的左侧，　
∴，
∴
∴OM的直径为6；
（2）过N作，垂足为C，
连结MN，则


又

在中


∴N的坐标为
设直线ON的解析式为


∴直线ON的解析式为；
（3）如图2，为所求作的点，为所求等腰三角形。