题目

题型：解答题难度：一般来源：海门市二模

已知关于x的一元二次方程x²+2（k-1）x+k²-1=0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由；
（3）若此方程的两个实数根的平方和为30，求实数k．

答案

（1）由题意得：△=[2（k-1）]²-4×1×（k²-1）＞0，
解得：k＜1，
故实数k的取值范围为k＜1．

（2）0可能是方程的一个根，
把x=0代入原方程中，k²-1=0，
∴k=±1，
∵k＜1，
∴k=-1，
此时方程x²-4x=0，
解得x₁=0，x₂=4，
故它的另一个根是4．

（3）设此方程的两个实数根为x₁，x₂
则x₁+x₂=-2（k-1），x₁•x₂=k²-1，
∵x₁²+x₂²=30，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=30，
∴[-2（k-1）]²-2（k²-1）=30，
 整理得k²-4k-12=0，
解得：k₁=-2，k₂=6，
∵k＜1，
∴k=-2．