题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

阅读下列材料：
∵

1

1×3

=

1

2

(1-

1

3

)，

1

3×5

=

1

2

(

1

3

-

1

5

)，

1

5×7

=

1

2

(

1

5

-

1

7

)，…

1

17×19

=

1

2

(

1

17

-

1

19

)，
∴

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

17×19

=

1

2

(1-

1

3

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)+

1

2

(

1

5

-

1

7

)+…+

1

2

(

1

17

-

1

19

)
=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

17

-

1

19

)
=

1

2

(1-

1

19

)=

9

19

．
解答下列问题：
（1）在和式

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…中，第6项为______，第n项是______．
（2）上述求和的想法是通过逆用______法则，将和式中的各分数转化为两个数之差，使得除首末两项外的中间各项可以______，从而达到求和的目的．
（3）受此启发，请你解下面的方程：

1

x(x+3)

+

1

(x+3)(x+6)

+

1

(x+6)(x+9)

=

3

2x+18

．

答案

（1）

1

11×13

，

1

(2n-1)(2n+1)

；

（2）分式减法，对消；

（3）将分式方程变形为

1

3

(

1

x

-

1

x+3

+

1

x+3

…-

1

x+9

)=

3

2x+18

．
整理得

1

x

-

1

x+9

=

9

2(x+9)

，方程两边都乘以2x（x+9），得
2（x+9）-2x=9x，解得x=2．
经检验，x=2是原分式方程的根．