题目

题型：填空题难度：一般来源：不详

已知实数a，b，c满足abc=-1，a+b+c=4，

a

a2-3a-1

+

b

b2-3b-1

+

c

c2-3c-1

=

4

9

，则a²+b²+c²=______．

答案

∵abc=-1，a+b+c=4，
∴a²-3a-1=a²-3a+abc=a（bc+a-3）=a（bc-b-c+1）=a（b-1）（c-1），
∴

a

a2-3a-1

=

1

(b-1)(c-1)

，
同理可得：

b

b2-3b-1

=

1

(a-1)(c-1)

，

c

c2-3c-1

=

1

(a-1)(b-1)

，
又

a

a2-3a-1

+

b

b2-3b-1

+

c

c2-3c-1

=

4

9

，
∴

1

(b-1)(c-1)

+

1

(a-1)(c-1)

+

1

(a-1)(b-1)

=

4

9

，
∴

(a-1)+(b-1)+(c-1)

(a-1)(b-1)(c-1)

=

4

9

，即

4

9

（a-1）（b-1）（c-1）=（a-1）+（b-1）+（c-1），
整理得：

4

9

（abc-ab-ac-bc+a+b+c-1）=a+b+c-3，
将abc=-1，a+b+c=4代入得：ab+bc+ac=-

1

4

，
则a²+b²+c²=（a+b+c）²-2（ab+bc+ac）=

33

2

．
故答案为：

33

2

．