题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

有18支足球队进行单循环赛，每个参赛队同其他各队进行一场比赛，假设比赛的结果没有平局，如果用a_i和b_i，分别表示第i（I=1，2，3…18）支球队在整个赛程中胜与负的局数．求证：a₁²+a₂²+…+a₁₈²=b₁²+b₂²+…+b₁₈²．

答案

由于每支球队都要进行18-1=17场比赛，则对于第i支球队有a_i+b_i=17，i=1，2，3，…18；由于比赛无平局，故所以参赛队的胜与负的总局数相等，即a₁+a₂+…+a₁₈=b₁+b₂+…b_18．
由（a₁²+a₂²+…+a₁₈²）-（b₁²+b₂²+…+b₁₈²）
=（a₁²-b₁²）+（a₂²-b₂²）+…+（a₁₈²-b₁₈²）
=17×[（a1+a2+…+a18）-（b1+b2+…b18）]
=0．
得a₁²+a₂²+…+a₁₈²=b₁²+b₂²+…+b₁₈²．