题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知1996个自然数a₁，a₂，…a₁₉₉₆两数的和能被它们的差整除，现设n=a₁•a₂•a₃•…•a₁₉₉₆．
求证：n，n+a₁，n+a₂，…，n+a₁₉₉₆这1997个数仍满足上述条件．

答案

证明：由于自然数是有序的，因此我可以把他们排列从小到大，不妨设a₁＜a₂＜a₃…＜a₁₉₉₆，
①证明a₁，a₂…a₁₉₉₆任取3个，一定有一个是偶数．
假设任取三个a_i，a_j，a_k，它们全部都是奇数，那么他们可以表示成
a_i=a，a_j=a+2b，a_k=a+2c，
其中a，b，c为正整数，且a为奇数，b＜c，我这样做因为他们肯定相隔偶数．
由已知
a_j-a_i|a_i+a_j，
a_k-a_i|a_i+a_k，
a_k-a_j|a_j+a_k，
得到
b|a+b，即b|a，
c|a+c，即c|a，
故c-b|a+b+c，
因此b，c都是奇数，那么a+b+c是3个奇数相加，因此也是奇数，
然而c-b是两个奇数相减，因此是偶数，那么不可能一个偶数c-b能除尽奇数a+b+c，因此得到矛盾，所以不可能都是奇数．
②从a₁，…a₁₉₉₆任取两个a_i，a_j，其中a_i＜a_j，下面证明a_j-a_i|n．
由a_j-a_i|a_i+a_j，可得a_j-a_i|（a_i+a_j）²=a_i²+2a_ia_j+a_j²=（a_j-a_i）²+4a_ia_j
由于a_j-a_i|（a_j-a_i）²所以a_j-a_i|4a_ia_j
在①里面，可见任何3个数中，必有一个是奇数，因此a₁，a₂，…a₁₉₉₆至少有2个偶数不等于a_i，a_j，
因此，显然4a_ia_j|n，所以aj-ai|n
③从n，n+a₁，n+a₂，…n+a₁₉₉₆任取两个n+a_i，n+a_j，其中a_i＜a_j
他们两个之差=a_j-a_i
之和=2n+a_i+a_j
因为
a_j-a_i|n（②中证明的） 和 a_j-a_i|a_i+a_j（已知条件）
所以a_j-a_i|2n+a_i+a_j，
这样证明了任取两个数属于{n，n+a₁，n+a₂…n+a₁₉₉₆}，他们之和能被他们之差整除．