题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

如果有一个三位数的奇数，它除以11所得的商，是这个三位数的各位上的数的平方和，试求符合条件的所有三位数．

答案

设三位数为100a+10b+c，a，b，c都是整数，0＜a≤9，0≤b，c≤9，c为奇数，
那么 

100a+10b+c

11

=9a+b+

a-b+c

11

，
∵a最小是1，b最大是9，c最小是0，即可得出，-8＜a-b+c，
a最大是9，b最小是0，c最大是9，即可得出，a-b+c＜18．
∴-8＜a-b+c＜18，
要使a-b+c被11整除，其值只能是0和11，
（ 1）当a-b+c=0时，得9a+b=a²+b²+c²．
以b=a+c代入，并整理为关于a的二次方程，得
2a²+2（c-5）a+2c²-c=0
把c=1，3，5，7，9　逐一讨论a的解
当c=1时，无整数解，当　c=3，5，7，9时，无实数根；
∴此时没有满足条件的三位奇数；

（2）当a-b+c=11时，得9a+b+1=a²+b²+c²．
以b=a+c-11代入，并整理为关于a的二次方程，得
2a²+2（c-16）a+2c²-23c+131=0．
把c=1，3，5，7，9　逐一讨论a的解
当c=1时，无整数解，当　c=5，7，9时，无实数根；
只有当c=3时，a=8，b=0适合所有条件．
即所求三位数为803．
综上所述，符合条件的三位数为803．