题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

1与0交替排列，组成下面形式的一串数101，10101，1010101，101010101，…
请你回答：在这串数中有多少个质数？并证明你的结论．

答案

显然101是质数，假设有n个1的数为An，首先A₁是一个质数，
当n≥2时An均为合数，当n为偶数时，显然An能被101整除，
当n为奇数时，An×11=111…1（共2n个1），再将它乘以9得999…9（共2n个9），即10²ⁿ-1，即An=

102n-1

99

，
即An=

(10n+1)(10n-1)

99

=[

(10n+1)

11

]×[

10n-1

9

]，
设

(10n+1)

11

=a，

10n-1

9

=b，显然b是整数，
而一个数被11整除的充要条件是奇偶位和的差能被11整除，
而10ⁿ+1的奇数位和为1，偶数位和也为1，所以能被11整除，
所以a也是一个不为1的整数，所以An不是质数，所以这串数中有101一个质数．
故答案为：1．