题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

（1）将l，2，…，2004这2004个数随意排成一行，得到一个数N．求证：N一定是合数；
（2）若n是大于2的正整数，求证：2ⁿ-1与2ⁿ+1中至多有一个是质数．

答案

（1）从1到999来看这999个数，不管怎么排列，都可以把百位十位和各位的数，按照九个九个的分组，个位上1到9，分到一组，十位上1到9分到一组，百位上1到9分一组，都是刚好分成九个一组的，每组加起来都是45，再有4+5=9，这999个数的各位数字的和能被9整除．
同理，从1000到1999，我们不看千位上的1，百位以后和上面分析的一样，每个数的每一位加起来最终能被9整除．但是这里千位上多了1000个1，再看2000到2004这5个数，这5个数有5个2，然后从0到4有5个数，我们可以不看0．于是2+2+2+2+2+1+2+3+4=20，加上1000到1999千位上的一千个1，就是1020，这个数可以也被3整除．
也就是说，1到2004，所有数字随便排在一起，每个位子上的数加起来的总和可以被3整除，即含有3这个因数，故N一定是合数；
（2）假设2ⁿ-1与2ⁿ+1均是质数，则（2ⁿ-1）（2ⁿ+1）一定为合数，即4ⁿ-1一定为合数，当n=3时4ⁿ-1=63，而63是质数，假设不成立，
故2ⁿ-1与2ⁿ+1中至多有一个是质数．