题目

若关于x的不等式x2+

1

2

x-(

1

2

)n≥0对任意n∈N^*在x∈（-∞，λ]恒成立，则实常数λ的取值范围是 ___ ．

提问时间：2022-01-10

答案

关于x的不等式x2+

1

2

x-(

1

2

)n≥0对任意n∈N^*在x∈（-∞，λ]恒成立，
等价于x2+

1

2

x≥(

1

2

)nmax对任意n∈N^*在x∈（-∞，λ]恒成立，
∵(

1

2

)nmax=

1

2

，
∴x2+

1

2

x≥

1

2

对 x∈（-∞，λ]恒成立．
设y=x2+

1

2

x，它的图象是开口向上，对称轴为x=-

1

4

的抛物线，
∴当x≤-

1

4

时，左边是单调减的，所以要使不等式恒成立，则λ²+

1

2

λ≥

1

2

，
解得λ≤-1，或λ≥

1

2

（舍）
当x＞-

1

4

，左边的最小值就是在x=-

1

4

时取到，
达到最小值时，x2+

1

2

x=(-

1

4

)2+

1

2

•(-

1

4

) =-

1

16

，不满足不等式．
因此λ的范围就是 λ≤-1．
故答案为：（-∞，-1]．

关于x的不等式x2+

1

2

x−(

1

2

)n≥0对任意n∈N^*在x∈（-∞，λ]恒成立，等价于x2+

1

2

x≥(

1

2

)nmax 对任意n∈N^*在x∈（-∞，λ]恒成立，由(

1

2

)nmax=

1

2

，知x2+

1

2

x≥

1

2

对 x∈（-∞，λ]恒成立．由此能求出λ的范围．

本题考点：函数恒成立问题．

考点点评：本题考查函数恒成立问题的应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．