题目

如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABDC的边AB在x轴上，顶点C在y轴上，A（-6，0），C（0，8），抛物线y=ax²-10ax+c经过点C，且顶点M在直线BC上，则抛物线解析式为___．

提问时间：2021-12-29

答案

∵A（-6，0），C（0，8），
∴OA=6，OC=8，
∴AC=

OA2+OC2

=10，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD=AC=10，
∴OB=AB-OA=4，
∴点B（4，0），
设直线BC的解析式为：y=kx+b，

b=8 4k+b=0

，
解得：

k=-2 b=8

，
∴直线BC的解析式为：y=-2x+8，
∵抛物线y=ax²-10ax+c经过点C，
∴c=8，
∴x=-

-10a

2a

=5，y=

4ac-(-10a)2

4a

=8-25a，
∴顶点为：（5，8-25a），
∵顶点M在直线BC上，
∴8-25a=-2×5+8，
∴a=

2

5

，
∴抛物线解析式为：y=

2

5

x²-4x+8．
故答案为：y=

2

5

x²-4x+8．

由在平面直角坐标系xOy中，菱形ABDC的边AB在x轴上，A（-6，0），C（0，8），利用勾股定理即可求得AC的长，继而求得点B坐标，继而求得直线BC的解析式，然后由抛物线y=ax²-10ax+c经过点C，且顶点M在直线BC上，求得答案．

本题考点：A:菱形的性质 B:待定系数法求二次函数解析式

考点点评：此题考查了菱形的性质、待定系数法求函数的解析式以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．