题目

已知直线ax+by－1=0(a,b不全为零)与圆x2+y2=50有公共点,且公共点的横、纵坐标均为整数,那么这样的直线共有（ ）
（A）66条 （B）72条 （C）74条 （D）78条
选B
∵在圆x2+y2=50上横坐标,纵坐标都是整数上的共有12个点:(1,7),(1,-7),(-1,7),(-1,-7),(7,1),(7,-1),(-7,1),-(-7,-1),(5,5),(5,-5),(-5,5),(-5,-5).
(1) 这12个点中可作60 条符合题意的直线ax+by－1=0(a,b不全为零),这些直线与圆x2+y2=50有二个横坐标,纵坐标都是整数的点:上面列出的12个点每二点可作一条直线,可作66条直线,但其中有6条直线过原点,它们分别为过：(1,7)、(-1,-7)；(5,5)、(-5,-5)；(7,1)、(-7,-1)；(-1,7)、(1,-7)；(-5,5)、(5,-5)；(-7,1)、(7,-1),这6条直线不符合题意.
(2) 过这12个点中的每个点都可作一条与圆x2+y2=50相切的直线,每条切线与圆x2+y2=50有且只有一个交点,这个交点的横坐标,纵坐标都是整数.
综上符合题意的直线ax+by－1=0(a,b不全为零)与圆x2+y2=50有公共点,且公共点的横、纵坐标均为整数的直线共有72条.
问：为什么不能过原点,还有怎么知道过原点的有6条

提问时间：2021-12-26

答案

这是因为当x=0,y=0时,ax+by-1=-1≠0,即原点坐标不满足直线方程ax+by-1=0,也就是直线ax+by-1=0不经过原点（0,0）.
所以经过原点的直线都不满足题意.
怎么知道过原点的有6条?
例如直线过两点(1,7)、(-1,-7),斜率k=(-7-7)/(-1-1)=7,易得直线方程为y=-7x,该直线经过原点,故不合题意；（当然,易知两点(1,7)、(-1,-7)关于原点对称,所以过这两点的直线必过原点）
同理可知 直线如果经过下列两点 (5,5)、(-5,-5)；(7,1)、(-7,-1)；(-1,7)、(1,-7)；(-5,5)、(5,-5)；(-7,1)、(7,-1) ,都经过原点,所以都要舍去.