题目

已知对任意a∈[-1，1]，不等式x²+（a-4）x+4-2a＞0恒成立，求x的取值范围．

提问时间：2021-12-25

答案

令f（a）=（x-2）a+x²-4x+4，则原问题转化为f（a）＞0恒成立（a∈[-1，1]）．
所以有

f(1)＞0 f(−1)＞0

，即

x2−3x+2＞0 x2−5x+6＞0

，解之得x＜1或x＞3．
故x的取值范围为（-∞，1）∪（3，+∞）．

利用更换主元的办法，把原不等式看成是关于a的一次不等式（x-2）a+x²-4x+4，不等式在a∈[-1，1]时恒成立，只要满足在a∈[-1，1]时直线在a轴上方即可．

本题考点：一元二次不等式的解法．

考点点评：本题考查了含有参数的一元二次不等式得解法，考查了数学转化思想，解答此题的关键是更换主元，使繁杂问题变得简洁，此题是中档题．