题目

如图，△ABC中，AB=AC=2，BC边上有10个不同的点P₁，P₂，…P₁₀，记M_i=AP_i²+P_iB•P_iC（i=1，2，…，10），那么M₁+M₂+…+M₁₀的值为（　　）
A. 4
B. 14
C. 40
D. 不能确定

提问时间：2021-12-21

答案

作AD⊥BC于D，则BC=2BD=2CD．
根据勾股定理，得
AP_i²=AD²+DP_i²=AD²+（BD-BP_i）²=AD²+BD²-2BD•BP_i+BP_i²，
又P_iB•P_iC=P_iB•（BC-P_iB）=2BD•BP_i-BP_i²，
∴M_i=AD²+BD²=AB²=4，
∴M₁+M₂+…+M₁₀=4×10=40．
故选C．

作AD⊥BC于D．根据勾股定理，得AP_i²=AD²+DP_i²=AD²+（BD-BP_i）²=AD²+BD²-2BD•BP_i+BP_i²，P_iB•P_iC=P_iB•（BC-P_iB）=2BD•BP_i-BP_i²，从而求得M_i=AD²+BD²，即可求解．

本题考点：等腰三角形的性质；勾股定理．

考点点评：此题主要运用了勾股定理和等腰三角形三线合一的性质．