题目

把两个含有30°角的直角三角板如图放置，点D在BC上，连接BE，AD，AD的延长线交BE于点F．问AF与BE是否垂直？并说明理由．

提问时间：2021-12-20

答案

证明：AF⊥BE．
∵∠ABC=∠DEC=30°，∠ACB=∠DCE=90°，
∴△ABC∽△DEC
∴

BC

EC

＝

AC

DC

，
∴

BC

AC

＝

EC

DC

．
∴△DCA∽△ECB．
∴∠DAC=∠EBC．
∵∠ADC=∠BDF，
∴∠EBC+∠BDF=∠DAC+∠ADC=90°．
∴∠BFD=90°．
∴AF⊥BE．

AF与BE垂直，由BC⊥AE，

BC

AC

＝

EC

DC

，得△DCA∽△ECB，则∠DAC=∠EBC，又∠ADC=∠BDF，则∠BFD=∠DCA=90°，AE⊥BF即可得证．

本题考点：相似三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了相似三角形的性质及判定，在证明时需找出对应边成比例即可得证两直角三角形相似，注意在解题时要先假设结论成立．