题目

高二——圆的方程
1. A（-1,0）B（0,2） P是圆（x+y）^2+y^2=1上任一点 求三角形PAB面积的最大最小值（要过程）
2.若（x-3)^2+y^2=1 求y-x的取值范围（要过程）
3.已知集合A=｛(x,y)│x^2+y^2=4｝B=｛（x,y)│(x-3)^2+（y-4）^2=r^2,r>0｝若A∩B有且只有一个元素,则r=
4.过点P（3,0)做圆x^2+y^2-8x-2y+12=0的弦 其中最短一条弦所在的直线方程是

提问时间：2021-12-18

答案

1.过点A(-1,0)、B(0,2)的直线方程是
(y-0)/(x+1)=(0-2)/(-1-0)
即y=2x+2,一般式为：2x-y+2=0.
三角形PAB的面积决定于底边AB的长度和高,
AB的长度是确定的：
|AB|=((-1-0)^2+(0-2)^2)^0.5=5^0.5.
而高是P到直线AB的距离.
其最大值在P成为平行于AB的直线与圆相切的切点时取得.
设平行于AB的直线方程为 y=2x+b,
代入圆的方程(x+y)^2+y^2=1,
(x+2x+b)^2+(2x+b)^2=1
13x^2+10bx+2b^2-1=0
使其有唯一解,所以要求判别式=0,
△=(10b)^2-4*13*(2b^2-1)=52-4b^2.
令52-4b^2=0,得b=±13^0.5
所以这样的切线有两条：
y=2x+13^0.5和y=2x-13^0.5.
利用求根公式,x=-(10b)/(2*13),
分别将b=±13^0.5代入,
得两个切点的横坐标分别为-5/13^0.5、5/13^0.5.
依次代入方程y=2x+13^0.5和y=2x-13^0.5,
得其相应纵坐标为3/13^0.5、-3/13^0.5,
所以
直线y=2x+13^0.5与圆切于P1(-5/13^0.5,3/13^0.5);
直线y=2x-13^0.5与圆切于P2(5/13^0.5,-3/13^0.5).
由点到直线的距离公式求得
P1到AB的距离为
|P1-AB|=(13^0.5-2)/5^0.5,
P2到AB的距离为
|P2-AB|=(13^0.5+2)/5^0.5,
显然,P2到AB的距离更大,
所以三角形PAB的面积最大值=
|AB|*|P2-AB|/2=5^0.5*(13^0.5+2)/5^0.5/2=13^0.5+2.
又因为直线AB与圆相交（A(-1,0)是圆上一点）
所以三角形PAB的面积最小值为0.
2.圆(x-3)^2+y^2=1的参数方程为：
x=3+cost,y=sint,t为动点到圆心的直线与x轴正方向的夹角.
所以y-x=sint-cost-3,
为讨论方便,先讨论y-x+3=sint-cost的取值范围,
sint-cost= sint * cos45°- cost * sin45°
=sin ( t-45°),
t-45°遍历了正弦函数的一个周期,所以,
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