题目
如图,在平行四边形ABCD中,E是BD上一点,AE的延长线交DC于点F,交BC的延长线于点G.求证:
(1)△ABE∽△FDE;
(2)AE2=EF•EG.
(1)△ABE∽△FDE;
(2)AE2=EF•EG.
提问时间:2021-12-13
答案
证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
∴∠ABE=∠FDE,∠EAB=∠EFD,
∴△ABE∽△FDE;
(2)由(1)知△ABE∽△FDE,
∴
=
①.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠GBE=∠ADE,∠G=∠DEA,
∴△BEG∽△DEA,
∴
=
②,
由①②可得,
=
,
∴AE2=EF•EG.
∴AB∥CD,
∴∠ABE=∠FDE,∠EAB=∠EFD,
∴△ABE∽△FDE;
(2)由(1)知△ABE∽△FDE,
∴
AE |
EF |
BE |
ED |
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠GBE=∠ADE,∠G=∠DEA,
∴△BEG∽△DEA,
∴
BE |
ED |
EG |
AE |
由①②可得,
AE |
EF |
EG |
AE |
∴AE2=EF•EG.
(1)先由平行四边形的定义得出AB∥CD,再根据平行线的性质得到∠ABE=∠FDE,∠EAB=∠EFD,然后根据两角对应相等的两三角形相似即可证明△ABE∽△FDE;
(2)先由△ABE∽△FDE,根据相似三角形对应边成比例得出
=
①,再证明△BEG∽△DEA,得出
=
②,比较①②,可得
=
,则AE2=EF•EG.
(2)先由△ABE∽△FDE,根据相似三角形对应边成比例得出
AE |
EF |
BE |
ED |
BE |
ED |
EG |
AE |
AE |
EF |
EG |
AE |
相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质.
此题考查了相似三角形的判定和性质以及平行四边形的性质.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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英语翻译
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