题目

3个三位数乘积的算式 abc×bca×cab=234235286，（其中a＞b＞c）在校对时，发现右边的积的数字顺序出现错误，但是知道最后一位6是正确的．问：原式中的abc是多少？

提问时间：2021-12-13

答案

234235286≡2+3+4+2十3+5+2+8+6≡8（mod 9）
abc×bca×cab≡（a+b+c）3（mod 9）
于是 （a+b+c）3≡8（mod 9）
从而（用a+b+c≡0，1，2，…，8代入上式检验） a+b+c≡2，5，8（mod 9）（1）
对a进行讨论
如果a=9，那么 b+c≡2，5，8（mod 9）（2）
又c×a×b的个位数字是6，所以 b×c=4×1=7×2=8×3=6×4
其中只有（b，c）=（4，1），（8，3）符合（2），经检验只有 983×839×398=328245326 符合题意
如果a=8，那么 b+c≡3，6，O（mod9）（3）
又b×c=2×1=4×3=6×2=7×6=7×1，其中只有（b，c）=（2，1），符合（3）．
经检验abc=921，不合题意
如果a=7，那么 b+c≡4，7，1（mod 9）（4）
又b×c=4×2=6×3，其中没有符合（4）的b、c
如果a≤6，那么abc×bca×cab＜700×600×500=210000000＜222334586，
因此这时abc不可能符合题意．
综上所述，abc=983是本题唯一的解．

考虑除以9的余数，我们用x≡y（mod9），表示x，y除以9的余数相同，也就是x-y是9的倍数，读作x与y模9同余，熟知一个自然数与它的数字和模9同余．

本题考点：数字问题．

考点点评：本题采用枚举法（也称为穷举法），分情况进行讨论，这是一种极常用的方法．