题目

如图，以AB为直径的半圆O上有一点C，过A点作半圆的切线交BC的延长线于点D．

（1）求证：△ADC∽△BDA；
（2）过O点作AC的平行线OF分别交BC，

BC

于E、F两点，若BC=2

3

，EF=1，求

AC

的长．

提问时间：2021-12-13

答案

（1）证明：∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．∵AD为半圆O的切线，∴∠BAD=90°，∴∠ACD=∠BAD．又∵∠ADC=∠BDA，∴△ADC∽△BDA．（2）连接OC，∵OE∥AC，∴OE⊥BC，∴BE=EC=3．在Rt△OBE中，设OB=x，则...

（1）根据切线的性质知：∠BAD=90°，由AB为半圆O的直径，可得：∠ACD=90°，再根据∠ADC=∠BDA，故：△ADC∽△BDA；
（2）作辅助线，连接OC，在Rt△OBE中，根据勾股定理可将半径求出，进而可将∠OBE和∠AOC的度数求出，代入弧长公式进行求解即可．

本题考点：弧长的计算；切线的性质；相似三角形的判定．

考点点评：本题主要考查相似三角形的判定及弧长的计算问题．