题目

如图，已知二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，交y轴于点C，过点C作CD⊥y轴交该抛物线于点D，且AB=2，CD=4．

（1）该抛物线的对称轴为______，B点坐标为（______），CO=______；
（2）若P为线段OC上的一个动点，四边形PBQD是平行四边形，连接PQ．试探究：
①是否存在这样的点P，使得PQ²=PB²+PD²？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
②当PQ长度最小时，求出此时点Q的坐标．

提问时间：2021-12-13

答案

（1）∵点C在y轴上，CD=4，
∴抛物线的对称轴为直线x=

4

2

=2，
∵AB=2，
∴点B的横坐标为2+

2

2

=3，
∴点B的坐标为（3，0）；
∵对称轴为直线x=-

b

2×1

=-2，
∴b=-4，
∵点B（3，0）在抛物线上，
∴9-4×3+c=0，
解得c=3，
∴CO=3；
（2）①不存在这样的点P，使得PQ²=PB²+PD²．
理由如下：∵四边形PBQD是平行四边形，
∴PB=DQ，
若PQ²=PB²+PD²，则PQ²=DQ²+PD²，
∴∠PDQ=90°，
∵四边形PBQD是平行四边，
∴PB∥DQ，
∴∠BPD=180°-90°=90°，
∴△PBO∽△DPC，
∴

PO

CD

=

BO

PC

，
设OP=m，则

m

4

=

3

3−m

，
整理得，m²-3m+12=0，
△=（-3）²-4×1×12=-39＜0，
∴这个方程没有实数根，
∴不存在这样的点P，使得PQ²=PB²+PD²；
②连接BD交PQ于M，
∵四边形PBQD是平行四边形，
∴M为BD、PQ的中点，
∴PQ取得最小值时，MP必定取得最小值，
根据垂线段最短，当P为OC的中点时，PQ最小，
此时，MP为梯形OBDC的中位线，MP∥OB，MP⊥y轴，
MP=

1

2

×（3+4）=

7

2

，
∴PQ的最小值为2×

7

2

=7，
此时，点Q的坐标为（7，

3

2

）．
故答案为：直线x=2；（3，0）；3．

（1）根据抛物线的对称性，利用CD的长度求出对称轴，再根据AB的长度结合对称轴求出点B的坐标；根据对称轴求出b的值，再把点B的坐标代入抛物线解析式求出c的值，即可得到CO的长；（2）①根据平行四边形的对边相等可得PB=DQ，再利用勾股定理逆定理判断出∠PDQ=90°，然后根据平行四边形的邻角互补求出∠DPB=90°，再判断出△PBO和△DPC相似，根据相似三角形的列式表示出OP，整理后根据方程解的情况确定点P不存在；②连接BD交PQ于点M，根据平行四边形的对角线互相平分可得M为BD、PQ的中点，根据垂线段最短可得P为OC的中点时，MP最小，PQ也最小，再根据梯形的中位线定理求出PM的长度，然后得到PQ的长度，最后写出点Q的坐标即可．

本题考点：二次函数综合题．

考点点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了二次函数图象的对称性，抛物线上点的坐标特征，平行四边形的对边平行且相等的性质，平行四边形的邻角互补，对角线互相平分的性质，根的判别式的应用，梯形的中位线定理以及垂线段最短的性质，综合性较强，但难度不大．