题目

已知：A是以BC为直径的圆上的一点，BE是⊙O的切线，CA的延长线与BE交于E点，F是BE的中点，延长AF，CB交于点P．

（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若AF=3，BC=8，求AE的长．

提问时间：2021-12-10

答案

证明：（1）连接AB，OA，OF；∵F是BE的中点，∴FE=BF．∵OB=OC，∴OF∥EC．∴∠C=∠POF．∴∠AOF=∠CAO．∵∠C=∠CAO，∴∠POF=∠AOF．∵BO=AO，OF=OF，∴∠OAP=∠EBC=90°．∴PA是⊙O的切线．（2）∵BE是⊙O的切线...

（1）要想证PA是⊙O的切线，只要连接OA，求证∠OAP=90°即可；
（2）先由切线长定理可知BF=AF，再在RT△BCE中根据勾股定理求出CE，最后由切割线定理求出AE的长．

本题考点：与圆有关的比例线段．

考点点评：本题考查的是切线的判定、与圆有关的比例线段以及圆中的切割线定理综合运用．