题目

设二次型f（x₁，x₂，x₃）=x^TAx的秩为1，A中行元素之和为3，则f在正交变换下x=Qy的标准为______．

提问时间：2021-12-08

答案

因为矩阵的行元素之和为3，
所以有：A

1 1 1

=

3 3 3

，
令：α=

1 1 1

，则：Aα=3α，
∴λ₁=3为矩阵A的一个特征值，
且实对称矩阵A的秩为1，
则A有特征值λ₂=λ₃=0，
所以标准型为：3y12．

二次型的标准型的计算，在不知道矩阵具体元素的情况下，只能根据矩阵的特点，推断出矩阵的特征值来计算．

本题考点：用正交变换法化二次型为标准形．

考点点评：计算标准型也就是化简二次型的矩阵，得到特征值与特征矩阵的过程．