题目

如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，cosA=

4

5

．

（1）求AC，AB的长度；
（2）在直线AC上是否存在点M，使得以线段BM为直径的圆与边AB交于P点（与点B不同），且以点P、A、C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出CM的长；若不存在，请说明理由．

提问时间：2021-11-25

答案

（1）在△ABC中，∵∠C=90°，
∴cosA=

AC

AB

=

4

5

．
设AC=4x，则AB=5x，
由勾股定理，得BC=

AB2−AC2

=3x，
∵BC=3，∴3x=3，∴x=1，
∴AC=4x=4，AB=5x=5；

（2）存在；
如图，∵△APC是等于三角形，
∴AP=PC，
∴∠A=∠PCA，
∵∠ACP=∠PBM，
∴∠A=∠ABM，
∴AM=BM，
∵BM是直径，
∴MP⊥AB，
∴AP=PB=

1

2

AB=

5

2

，
∵∠APM=∠ACB=90°，∠PAM=∠CAB，
∴△APM∽△ACB，
∴AM：AB=AP：AC，
即

AM

5

=

5 2

4

，
∴AM=

25

8

，
∴CM=AC-AM=4-

25

8

=

7

8

；

（1）设AC=4x，则AB=5x，根据勾股定理求得BC=3x，根据BC=3，求得x=1，从而求得AC、AB的长度；
（2）根据等腰三角形的性质得出∠A=∠PCA，根据圆周角的性质得出∠ACP=∠PBM，进而得出∠A=∠ABM，得出三角形AMB是等腰三角形，由直径所对的圆周角是直角得出MP⊥AB，从而求得AP=PB=

5

2

，然后根据三角形相似求得AM的长，进而求得CM的长；

本题考点：圆的综合题．

考点点评：本题考查了直角三角函数的应用、勾股定理的应用、相似三角形的判定和性质、圆周角定理以及等腰三角形的性质等，熟练掌握圆的应该性质是本题的关键．