题目

设函数f（x）=a-

2

2x+1

（1）求证：f（x）是增函数；
（2）求a的值，使f（x）为奇函数；
（3）当f（x）为奇函数时，求f（x）的值域．

提问时间：2021-11-04

答案

（1）证明：任取x₁，x₂∈R，且x_1＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=a-

2

2x1+1

-a+

2

2x2+1

=

2(2x1−2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

（2分）
∵y=2^x在（-∞，+∞）上递增，而x₁＜x₂∴2x1＜2x2∴2x1-2x2＜0（4分）
又（2x1+1）（2x2+1）＞0∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函数（6分）
（2）f（x）为奇函数，f（0）=a-

2

20+1

=a-1=0∴a=1
经检验，a=1时f（x）是奇函数（10分）
（3）由（2）知，f（x）=1-

2

2x+1

∵2^x+1＞1∴0＜

1

2x+1

＜1∴f（x）∈（-1，1）（14分）

（1）单调性的证明，要设出单调区间上的自变量x1＜x2，作差f（x1）-f（x2）在进行化简，分解成因式的积或商的形式，来判断符号，（2）要充分利用函数的奇偶性的概念，对于奇函数有一个结论：奇函数在x=0处有定义，则有f（0）=0，本题可以充分利用这一点来求参数a的值．（3）可有（2）的结论求出f（x）的解析式后，求函数的值域．

本题考点：函数单调性的判断与证明；函数的值域；函数奇偶性的判断．

考点点评：本题考查了函数的单调性，奇偶性的概念及其判断、证明，函数的值域的求法．对于利用定义来证明函数的单调性要注意做差后对式子f（x1）-f（x2）的化简，利用符号法则来判断其符号．