题目

特殊平行四边形 习题3.4 知识技能1
已知：ABCD是平行四边形,P是CD上的一点,且AP和BP分别平分角DAB和角CBA,过点P作AD的平分线,交AB于点Q.
（1）求证：AP垂直PB
（2）如果AD=5cm,AP=8cm,那么AB的长是多少?三角形APB的面积是多少?

提问时间：2021-11-04

答案

（1）证明：
因为 是 平行四边形,所以
∠DAB + ∠CBA = 180
AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA
∠PAB = ∠DAB/2
∠PBA = ∠CBA/2
∠PAB + ∠PBA = (∠DAB + ∠CBA)/2 = 180/2 = 90
∠APB = 180 - (∠PAB+∠PBA) = 90
所以AP垂直PB
（2）证明：
因为 PQ || AB ,所以
∠APD = ∠PAQ
∠APQ = ∠PAD
AP平分∠DAB,∠PAQ = ∠PAD,所以
∠APD = ∠APQ
在 △APD 和 △APQ 中
∠APD = ∠APQ
AP = AP
∠PAD = ∠PAQ
所以根据角边角定理,
△APD ≌ △APQ
对应边相等,则
AD = AQ
同理可证 BQ = BC
因为是平行四边形,所以
BC = AD = PQ
因此 AQ = BQ = AD = 5
AB = AQ + BQ = 10
根据勾股定理,可以推出
BP^2 = AB^2 - PA^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36
所以
BP = 6
因此 △APB的面积
S = (1/2) AP * PB
= (1/2)*8*6
= 24