题目

设函数f（x）=|2x+1|-|x-4|
（1）解不等式f（x）＞2；
（2）若关于x的不等式a＞f（x）有解，求实数a的取值范围．

提问时间：2021-10-16

答案

（1）令y=|2x+1|-|x-4|，则y＝−x−5，x≤−123x−3，−12＜x＜4x+5，x≥4，作出函数y=|2x+1|-|x-4|的图象，它与直线y=2的交点为（-7，2）和 (53，2)，所以|2x+1|-|x-4|＞2的解集为（-∞，-7）∪（53，+∞）．...

（1）令y=|2x+1|-|x-4|，去掉绝对值化简解析式并作出图象，求出函数y=|2x+1|-|x-4|与直线y=2的交点的坐标，结合图形得到答案．
（2）结合y=|2x+1|-|x-4|图象可求得f（x）_min，从而可求得实数a的取值范围．

本题考点：带绝对值的函数；绝对值不等式的解法．

考点点评：本题考查绝对值不等式的解法，体现了数形结合的数学思想．化简函数y=|2x+1|-|x-4|的解析式，做出图象，是此题的难点．