题目

已知直线y=x+6与x轴y轴交于A、B两点,直线L经过原点与直线AB交于点C且把△AOB的面积分为2：1的两部分．
求直线L的解析式．

提问时间：2021-10-05

答案

y=x+6与x轴y轴交于A、B两点
令y=0,则x=-6；令x=0,则y=6
故A、B两点坐标分别为A（-6,0）,B（0,6）
直线L经过原点与直线AB交于点C且把△AOB的面积分为2：1的两部分,则S△AOC=2S△BOC,或S△BOC=2S△AOC
其中C点在AB之间,xA＜xC＜xB,即-6＜xC＜0
将AC看做△AOC的底,将BC看做△BOC的底,则两个三角形的高h相等（都等于原点到AB的距离）
∵S△AOC=1/2AC*h,S△BOC=1/2BC*h
∴AC=2BC,或者BC=2AC,即AC/BC=2,或AC/BC=1/2
做CE垂直x轴于E,CF⊥y轴于F,则△ACE∽△CBF
AC/BC = AE/CF = |xC-xA|/|xB-xC| = [xC-(-6)]/(0-xC) = -(xC+6)/xC=2,或1/2
-(xC+6)=2xC,或 -(xC+6)=1/2xC
-6=3xC,或 -6=3/2xC
xC=-2,或xC=-4
yC=xC+6=4,或2
故C点坐标(-2,4),或（-4,2）
过原点和C的直线的斜率k=4/(-2)=-2,或k=2/(-4)=-1/2
∴直线L的解析式y=-2x,或y=-1/2x