题目

已知函数f（x）=-x³+ax²+b（a、b∈R）．
（1）若a＞0，求函数f（x）的单调区间；
（2）若a=1，函数f（x）的图象能否总在直线y=b的下方？说明理由；
（3）若函数f（x）在[0，2]上是增函数，x=2是方程f（x）=0的一个根，求证：f（1）≤-2．

提问时间：2021-09-13

答案

∵f（x）=-x³+ax²+b（a、b∈R）
∴f'（x）=-3x²+2ax=-x（3x-2a）．
（1）若a＞0，令f'（x）=0得x₁=0，x₂=

2a

3

，则

2a

3

＞0

∴f（x）的单调增区间为：（0，

2a

3

），单调递减区间为：（-∞，0），（

2a

3

，+∞）
（2）若a=1，由（1）可得f（x）在(0，

2

3

)上单调递增，
则x∈(0，

2

3

)时，f（x）＞f（0）=b
∴f（x）的图象不可能总在直线y=b的下方．
（3）若函数f（x）在[0，2]上是增函数，则x∈[0，2]时f'（x）=-3x²+2ax≥0恒成立．
即a≥

3x2

2x

＝

3

2

x对x∈[0，2]恒成立，
∴a≥3．
又f（2）=0，
∴-8+4a=b+0得b=8-4a，
∴f（1）=-1+a+b=7-3a≤-2．

（1）三次多项式函数的单调性问题，先求导，令f′（x）≥0和f′（x）≤0，解不等式即可．
（2）结合（1）问中函数的性质求解．
（3）由f（x）在[0，2]上是增函数可求出a的范围，x=2是方程f（x）=0的一个根，找出a和b的关系，可证．

本题考点：函数单调性的性质．

考点点评：本题考查函数单调性的判断及应用、分类讨论思想，综合性较强．