题目

矩形四边的长度都是小于10的整数（单位：公分），这四个长度数可构成一个四位数，这个四位数的千位数字与百位数字相同，并且这四位数是一个完全平方数，求这个矩形的面积．

提问时间：2021-05-07

答案

设矩形的边长为x，y，则四位数：
N=1000x+100x+10y+y=1100x+11y=11（100x+y）=11（99x+x+y）
因为N是完全平方数，11为质数，所以x+y能被11整除．
又由分析可得x+y=11．
所以N=11²×（9x+1），所以9x+1是一个完全平方数，验算知x=7满足条件．
又由x+y=11，得y=4．所以S=xy=7×4=28（平方厘米）．
答：这个矩形的面积是28平方厘米．

此题可设长方形的边长为xcm、ycm，则四位数N=1000x+100x+10y+y=1100x+11y=11（100x+y）=11（99x+x+y）可证得x+y=11，从而得出9x+1是一个完全平方数，经试算即可解答．

本题考点：完全平方数性质．

考点点评：此题主要考查完全平方数的特征，正确列出代数式是解题的关键．