题目

已知f(x)＝sin2x+2

3

sinxcosx−cos2x
（1）求f（x）的最大值及取最大值时x的集合．
（2）求f（x）的增区间．

提问时间：2021-05-06

答案

由已知：f(x)＝3sin2x−cos2x＝2(32sin2x−12cos2x)＝2sin(2x− π6)，（1）当2x−π6＝2kπ+π2，k∈Z，即：sin(2x−π6)＝1时，f（x）取最大值2．此时x的集合为：{x|x＝kπ+π3，k∈Z }（2）∵f(x)＝2si...

（1）先利用二倍角公式将函数f(x)＝sin2x+2

3

sinxcosx−cos2x化为f(x)＝2sin(2x−

π

6

)，结合正弦函数的图象和性质，当2x−

π

6

＝2kπ+

π

2

，k∈Z时函数取最大值，解不等式即可．
（2）将内层函数作为整体，放到正弦曲线的增区间上，即2kπ−

π

2

≤2x−

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，解不等式即可得此复合函数的单调增区间．

本题考点：正弦函数的单调性；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦函数的定义域和值域．

考点点评：本题考查了二倍角公式，三角变换方法，正弦曲线的性质，求复合函数单调区间的方法属于三角函数的性质的综合运用．