题目

已知函数f（x）=e^x-ax²（a∈R）．
（1）求函数f（x）在点P（0，1）处的切线方程；
（2）若函数f（x）为R上的单调递增函数，试求a的范围；
（3）若函数f（x）不出现在直线y=x+1的下方，试求a的最大值．

提问时间：2021-05-05

答案

（1）函数f（x）=e^x-ax²．则导数f′（x）=e^x-2ax，
∴f′（0）=1，
∴函数f（x）在点P（0，1）处的切线方程是y=x+1；
（2）函数f（x）为R上的单调递增函数即
导数f′（x）=e^x-2ax≥0恒成立，
画出曲线y=e^x和直线y=2ax，即要求曲线恒在直线的上方．
设直线与曲线相切时的切点为（m，n），则n=2am，n=e^m，e^m=2a，
解得m=1，n=e，a=

e

2

，
由图象观察得a的范围是[0，

e

2

]；
（3）由题意可知，f（x）≥x+1恒成立，记F（x）=e^x-ax²-x-1，
即F（x）≥0恒成立，
若a＞0，则x＜-

1

a

＜0，F（x）＜1-x（ax+1）-1＜0，与F（x）≥0矛盾，
∴a≤0，F′（x）=e^x-2ax-1，
则x＞0时，F′（x）＞e⁰-1=0，x＜0时，F′（x）＜e⁰-1=0，
∴x=0为F（x）的最小值点，即最小值为0，即F（x）≥0恒成立，
故函数f（x）不出现在直线y=x+1的下方，a的最大值为0．

（1）求出导数，切线的斜率，由点斜式方程即可；
（2）即导数f′（x）=e^x-2ax≥0恒成立，画出曲线y=e^x和直线y=2ax，即要求曲线恒在直线的上方，求出相切的情况，通过直线的旋转即可；
（3）由题意可知，f（x）≥x+1恒成立，记F（x）=e^x-ax²-x-1，即F（x）≥0恒成立，讨论a＞0不成立，运用导数求出F（x）的最小值即可．

本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

考点点评：本题考查导数的综合应用：求切线方程、求单调区间和极值、最值，考查数形结合的思想方法，不等式恒成立思想转化为求最值问题，属于中档题．