题目

设直线系M:xcosθ+（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π），则下列命题中是真命题的个数是（　　）
①存在一个圆与所有直线相交；
②存在一个圆与所有直线不相交；
③存在一个圆与所有直线相切；
④M中所有直线均经过一个定点；
⑤不存在定点P不在M中的任一条直线上；
⑥对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上；
⑦M中的直线所能围成的正三角形面积都相等.
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

提问时间：2021-04-28

答案

根据直线系M：xcosθ+（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π）得到所有直线都为圆心为（0，2），半径为1的圆的切线；
可取圆心为（0，2），半径分别为2，

1

2

，1得到①②③正确；所有的直线与一个圆相切，没有过定点，④错；存在（0，2）不在M中的任一条直线上，所以⑤错；存在等边三角形的三边都在M中的直线上，⑥对，可取圆的外接正三角形其所有边均在M中的直线上且面积相等；⑦可以做在圆的三等分点做圆的切线，把其中一条平移到另外两个点中点时，可知⑦错误；故①②③⑥正确，④⑤⑦错，所以真命题的个数为4个
故选：B

根据已知可知直线系M都为以（0，2）为圆心，以1为半径的圆的切线，取半径为2即可得到所以①对；存在圆心为（0，2），半径为

1

2

的圆与直线都不相交，所以②对；③显然对；④错；⑤错，存在可取一点（0，2）即可验证；⑥，⑦可去三角形的外接正三角形所有边均在M中的直线上且面积相等，所以⑥⑦都正确．

本题考点：直线的斜截式方程．

考点点评：考查学生利用直线的斜截式方程得到直线系M为平面内除过一个圆的区域．