题目
求曲线积分
设C为圆周x^2+y^2=ax(a>0),则曲线积分I=∮c√(x^2+y^2)ds的值是多少?
有四个选项,(A)a^2,(B)2a^2 (C) 3a^2 (D) 4a^2
设C为圆周x^2+y^2=ax(a>0),则曲线积分I=∮c√(x^2+y^2)ds的值是多少?
有四个选项,(A)a^2,(B)2a^2 (C) 3a^2 (D) 4a^2
提问时间:2021-04-19
答案
答:
修改一下,这次对了.
∮c√(x^2+y^2)ds = ∫L1√(x^2+y^2)ds +∫L2√(x^2+y^2)ds
=∫0到a √(ax) * √(1+y1'^2)dx + =∫0到a √(ax) * √(1+y2'^2)dx
其中y1=√(ax-x^2),y2=-√(ax-x^2),有y1'^2和y2'^2相等.√(1+y1'^2)=a/(2√(ax-x^2))
所以原式
=2*a/2 ∫0到a √(ax) /√(ax-x^2)dx
=a√a ∫0到a 1/√(a-x)dx
=a√a * 2√a
=2a^2
这回肯定没错了.
个人感觉这题用格林公式不太方便,因为将ds化成dxdy不太好化.
修改一下,这次对了.
∮c√(x^2+y^2)ds = ∫L1√(x^2+y^2)ds +∫L2√(x^2+y^2)ds
=∫0到a √(ax) * √(1+y1'^2)dx + =∫0到a √(ax) * √(1+y2'^2)dx
其中y1=√(ax-x^2),y2=-√(ax-x^2),有y1'^2和y2'^2相等.√(1+y1'^2)=a/(2√(ax-x^2))
所以原式
=2*a/2 ∫0到a √(ax) /√(ax-x^2)dx
=a√a ∫0到a 1/√(a-x)dx
=a√a * 2√a
=2a^2
这回肯定没错了.
个人感觉这题用格林公式不太方便,因为将ds化成dxdy不太好化.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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