题目

一道高二数学题,求高手来解答,关于抛物线的
过点A（-2,-4）做倾斜角45度的直线,交抛物线y2＝2px（p＞0）于M,N两点,且AM,MN,AM成等比数列,求抛物线方程.
希望解题步骤清晰
是AM，MN，AN成等比数列，前面打错了！

提问时间：2021-04-10

答案

依题意,得直线方程为y=x-2,设M点坐标（X1,X1-2),N点坐标为（x2,x2-2)
又因为直线交于抛物线于M,N两点,所以联合方程y=x-2,y^2＝2px,即（x-2)^2=2px
得x^2-(4+2p)X+4=0,x1+x2=4+2p,x1x2=4,利用两点间公式可得AM=（根号2）（x1+2)
AN=(根号2）（ x2+2) ,利用弦长公式得,MN^2=32p+8p^2,又因为AM,MN,AN成等比数列,
所以,MN^2=AMxAN,即32p+8p^2=（根号2）（x1+2)(根号2）（ x2+2)
化简得（p+4)(p-1)=o,又因为p>0,所以 p=1
所以抛物线方程为y^2＝2x