题目

设f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c属于R,a≠0),f(x)在区间[-2,2]上的最大值,最小值分别为M,m,集合A＝{x|f(x)≤x},若A＝2,a∈[2^n,+∞) (n∈N+),M-n的最小值记为g(n),估算使g(n)∈[10^3,10^4]的一切n的值!

提问时间：2021-04-09

答案

首先f(x)≤x,可以推出x=2,我们直接把这个不等式全划到一边ax^2+（b-1）x+c≤0
由已知的范围a>0的,
所以这个不等式一定可以划为a(x-2)^2≤0,只有这样才可能只有一个x满足题意,
打开,有ax^2-4ax+4a≤0
对比两边系数,可以知道b=1-4a,c=4a,
那么f(x)=ax^2+(1-4a)x+4a
所以开口向上的二次函数f(x)对称轴就是(4a-1)/(2a)=2-1/(2a)
因为a∈[2^n,+∞),所以1/2a(0,1/2^(n+1)],
所以f(x)在x=2-1/(2a)时取最小值,在x=-2时取最大值
M=f(-2)=4a+8a-2+4a=16a-2
显然a越大M越大
g(x)=M-n=16a-2-n≥16*2^n-n-2=2^(n+4)-n-2
通过常识我们知道g(n)∈[10^3,10^4]时,2^(n+4)远大于n+2
所以通过2^(n+4)∈[10^3,10^4]来寻找可能的n,
经试验,2^7=128,2^8=256,2^9=512,2^10=1024(因为还要减去n+2,所以多试验一个)
然后n可能的值就是n=3或4或5（n=6不满足题意了就舍去了）