题目

某轮船航行过程中每小时的燃料费u与其速度v的立方成正比．已知当速度为10千米/小时，燃料费10元/小时，其他与速度无关的费用每小时160元．设每千米航程成本为y．
（1）试用速度v表示轮船每千米航程成本y；
（2）轮船的速度为多少时，每千米航程成本最低？

提问时间：2021-04-09

答案

（1）易知u=kv³，由10=k×10³，得k＝

1

100

．
于是，每小时的费用为

1

100

v3+160．而轮船航行1千米需用时

1

v

小时，所以每千米航程成本函数为：y＝

1

v

(

1

100

v3+160)＝

1

100

v2+

160

v

．
（2）求导得：y′＝

1

50v2

(v3−8000)，令 y'=0，解得：v=20．
当0＜v＜20时，y'＜0；当v＞20时，y'＞0．
所以当v=20时y有最小值，即：v=20时每千米航程成本最低．

（1）先设出函数关系式，代入速度与每小时燃料费的关系值求出比例系数即可；
（2）根据题设要求设出行驶总费用与速度之间的函数关系式，再利用函数的导数去求函数的最小值即可．

本题考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的最值及其几何意义；函数模型的选择与应用．

考点点评：本题是实际应用题，考查学生建立函数模型的能力，以及利用函数的导数研究给定区间上函数的最值问题，是高考的常考知识点．