题目

甲乙丙三个小组植树
某校甲乙三个小组分别到ABC三个位置植树,ABC在同一条直线上,B在AC之间,AB相距300米,BC相距400米,甲组有20人,乙组有40人,丙组有30人,学校计划在A,C之间设一个发放树苗点,现有两个建点方案：1：让所有学生到发放点距离总合最小.2：让甲组与丙组的所有学生到发放点距离的和等于乙组所有学生到发放点的距离之和
（1）若按方案一,发放点应放在距离A多远的位置
（2）若按方案二,发放点应设在距离A多远的位置
（3）在（2）的条件下,若甲组减少人数,则发放点离B处是越来越远还是越来越近?请说明理由

提问时间：2021-04-09

答案

（1）设发放树苗点离A处x（0≤x≤700）米,所有学生到发放树苗点的距离的和为y米,
则：①当0≤x≤300时,有y=20x+40（300-x）+30（700-x）=-50x+33000,
②当300＜x≤700时,有y=20x+40（x-300）+30（700-x）=30x+9000,
①中x=300时,y有最小值18000,
②中y＞18000,
∴按方案①设点,发放树苗点应设在距离A处300米处,即B处．
（2）设发放树苗点距离A处x（0≤x≤700）米,
则：①当0≤x≤300时,有：20x+30（700-x）=40（300-x）,
解得x=-300（不合题意,舍去）,
②当300＜x≤700时,有：20x+30（700-x）=40（x-300）,
解得：x=660,
∴按方案二设点,发放树苗点应设在距离A处660米．
（3）设甲小组减小a（a＜20）人,
由（2）得：（20-a）x+30（700-x）=40（x-300）（300＜x≤700）,
解得：x＝
33000
50+a
,
又∵
33000
50+a
＜660,且a越大,x越小
∴若甲小组减少人数则发放树苗点离B处越来越近．