题目

如题：∫(根号下（x^2+1))/1*dx 区间是0到二分之根号二
根号下(x^2+1)在分母上

提问时间：2021-04-08

答案

令x=tant,则dx=(sect)^2*dt
∫{1/[(1+x^2)^0.5]}*dx=∫{[(sect)^2]/[(1+(tant)^2)^0.5]}*dx
=∫sectdt
=∫[sect(sect+tant)]/(sect+tant)*dt
=∫[(sect)^2+secttant)]/(sect+tant)*dt
=∫1/(sect+tant)*d(sect+tant)
=ln(sect+tant)+C
前面设x=tant
所以把上面结果里的sect和tant用x来表示.
这个转变画个直角三角形来看很清楚：
sect=(1+x^2)^0.5
tant=x
整理一下,可得：
原积分=ln[(1+x^2)^0.5+x]+C ,其中,C为任意常数.(1+x^2)^0.5表示根号(1+x^2)