题目

已知a b c为正实数
1.求证 a+b+c≤a^2+b^2/2c+b^2+c^2/2a+c^2+a^2/2b≤a^2/bc+b^2/ac+c^2/ab
2.求证 ab（a+b）+bc（a+b）+ac（a+b）≥6abc
1.求证 a+b+c≤（a^2+b^2）/2c+（b^2+c^2）/2a+（c^2+a^2）/2b≤（a^2）/bc+（b^2）/ac+（c^2）/ab
2.求证 ab（a+b）+bc（a+b）+ac（a+b）≥6abc

提问时间：2021-04-08

答案

（一）现证左边的不等式：a+b+c≤[(a²+b²)/2c]+[(b²+c²)/2a]+[(c²+a²)/2b].（1）由基本不等式√[2(x²+y²)]≥x+y.可知,√[2(a²+b²)+√[2(b²+c²)]+√[2(c²+a²)]≥2(a+b+c).===>[√(a²+b²)+√(b²+c²)+√(c²+a²)]²≥2(a+b+c)².(2)由柯西不等式可知,[(2c)+(2a)+(2b)]×{[(a²+b²)/2c)]+[(b²+c²)/2a]+[(c²+a²)/2b]}≥[√(a²+b²)+√(b²+c²)+√(c²+a²)]²≥2(a+b+c)².===>[(a²+b²)/2c]+[(b²+c²)/2a]+[(c²+a²)/2b]≥a+b+c.【第一大题的右边不等式有问题啊.令a=b=c=m>0.则可得：3m≤3.当m＞1时,明显不对.】（二）令a=1,b=2,c=3.则有33＞36.矛盾.请LZ再看看题.