题目

不等式选讲
已知f（x）=|x|+|x-3|，若不等式f（x）＞a-x恒成立，求实数a的取值范围．

提问时间：2021-04-08

答案

∵f（x）=|x|+|x-3|，
∴f（x）=

−2x+3，x＜0 3，0≤x≤3 2x−3，x＞3

（1）x＜0时，-2x+3＞a-x，∴a＜-x+3，∴不等式f（x）＞a-x恒成立时，a＜3
（2）0≤x≤3时，3＞a-x，∴a＜x+3，∴不等式f（x）＞a-x恒成立时，a＜3
（3）x＞3时，2x-3＞a-x，∴a＜3x-3，∴不等式f（x）＞a-x恒成立时，a＜6
综上知，a＜3．

先利用绝对值的几何意义，写出分段函数，再分段求出不等式f（x）＞a-x恒成立时，a的范围，从而可求实数a的取值范围．

本题考点：函数恒成立问题；带绝对值的函数．

考点点评：本题重点考查不等式恒成立问题，解题的关键是利用绝对值的几何意义，写出分段函数，属于基础题．