题目

已知数列{a_n}的递推公式为

a1＝2 an+1＝3an+1

，bn＝an+

1

2

（n∈N^*），
（1）求证：数列{b_n}为等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

提问时间：2021-04-07

答案

（1）由题意可得：a₁=2，
所以b1＝a1+

1

2

＝2+

1

2

＝

5

2

，
又因为a_n+1=3a_n+1，bn＝an+

1

2

，
所以bn+1＝an+1+

1

2

＝3an+1+

1

2

＝3(an+

1

2

)＝3bn，
所以数列{b_n}是一个以

5

2

为首项，3为公比的等比数列．---------（6分）
（2）由（1）得bn＝

5

2

×3n−1，
因为bn＝an+

1

2

，
所以可得an+

1

2

＝

5

2

×3n−1，
所以an＝

5

2

×3n−1−

1

2

（n∈N^*）．---------（10分）

（1）由题意可得：b1＝a1+

1

2

＝2+

1

2

＝

5

2

，结合题意可得：bn+1＝an+1+

1

2

＝3an+1+

1

2

＝3(an+

1

2

)＝3bn，进而得到答案．
（2）首先由（1）求出数列b_n的通项公式，再根据a_n与b_n的关系得到an＝

5

2

×3n−1−

1

2

．

本题考点：数列递推式；等比数列的通项公式．

考点点评：本题主要考查数列的递推式之间的相互转化，以及等比数列的判定与等比数列的通项公式．