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题目
已知关于x的方程sinx+cosx=a的解集是空集,则实数a的取值范围是 ___ .

提问时间:2021-04-07

答案
方程化简为:
2
sin( x+
π
4
)=a
即 sin( x+
π
4
)=
2
a
2
      
若没有解集,那么
2
a
2
>1或
2
a
2
<-1
解得  a>
2
或a<-
2

故答案为:(-∞,-
2
)∪(
2
,+∞)
利用两角和的正弦函数化简方程sinx+cosx=a为:
2
sin( x+
π
4
)=a  解集是空集,
就是a不在[-
2
2
]区间内,求出即可.

三角函数的最值;空集的定义、性质及运算.

本题考查三角函数的最值,空集的概念,考查计算能力,解题的关键是:a不在[-

2
2
]区间内.是基础题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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