题目

（1）如果一个正整数正好等于它的数字之和的13倍,试求出所有这样的正整数.
（2）如果一个正整数正好等于它的数字之和的12倍,试求出所有这样的正整数.

提问时间：2021-04-05

答案

（1）如果一个正整数正好等于它的数字之和的13倍,试求出所有这样的正整数.
这个正整数不能是一位数!至少是两位数、或三位数、或四位数、...,
1、设这个正整数是 10a+b,10a+b=13(a+b),3a+12b=0,a+4b=0,a=-4b,因为a,b都是一位整数,显然无解；
2、设这个正整数是 100a+10b+c,100a+10b+c=13(a+b+c),87a=3b+12c,29a=b+4c,因为abc是一位整数,29a=b+4c：令 a=1,b=0,c=29/4,是非整数,不是其解,舍弃；令 a=1,b=1,c=7,该数是117；令 a=1,b=5,c=6,该数是156；令 a=1,b=9,c=5,该数是195；其它数将会超出abc是一位数的范围.
3、设这个正整数是 1000a+100b+10c+d,1000a+100b+10c+d=13(a+b+c+d),987a+87b=2c+12d,因为abc是一位整数,987a+87b=2c+12d：令 a=1(a不能为0),cb为任何一位数2c+12d都是偶数,不可能等于987,故无解；令a=2,b=...,d=...c=...,如此这般地一个个去试解,求得结果,希望你理解了自己去解.
4、再推广到4位数...
（2）如果一个正整数正好等于它的数字之和的12倍,试求出所有这样的正整数.
这个正整数不能是一位数!至少是两位数、或三位数、或四位数、...,
1、设这个正整数是 10a+b,10a+b=12(a+b),2a+11b=0,a=-11b/2,因为a,b都是一位整数,显然无解；
2、设这个正整数是 100a+10b+c,100a+10b+c=12(a+b+c),88a=2b+11c,因为abc是一位整数,88a=2b+11c：令 a=1,b=0,c=8,该数是108；令 a=1,b=11,c=6,但b=11超出b是一位数的范畴,不是其解,舍弃；其它数将会超出abc是一位数的范围.
3、设这个正整数是 1000a+100b+10c+d,1000a+100b+10c+d=12(a+b+c+d),988a+88b=2c+11d,因为abc是一位整数,988a+88b=2c+11d：令 a=...(a不能为0),.；令a=2,b=...,d=...c=...,如此这般地一个个去试解,求得结果,希望你理解了自己去解.
4、再推广到4位数...