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题目
如图1,在平面直角坐标系中,等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴上,直线y=3x-4经过等腰Rt△AOB的直角顶点A,交y轴于C点,双曲线y=
k
x

提问时间:2021-04-04

答案
(1)作AD⊥x轴于D
∵△AOB为等腰直角三角形
∴OD=AD=BD
设A(a,a),
则a=3a-4,
解得a=2
∴点A(2,2);
(2)又点A在y=
k
x
上,
∴k=4,反比列函数为y=
4
x

(3)存在.                    
设M(m,n)
∵∠PAM=∠OAB=90°
∴∠OAP=∠BAM
∵OA=AB  AP=AM
∴△OAP≌△BAM
∴∠ABM=∠AOP=45°
∴∠OBM=90°,即MB⊥x轴
∵△ABO是等腰直角三角形,A(2,2)
∴OB=4  
∵点M在y=
4
x

∴M(4,1);
(4)不存在                  
由(3)中所证易知:
假设在双曲线上存在点N,
若△PAN为等腰直角三角形
则:△PAB≌△NAO
∴∠NOA=∠PBA=45°
∴∠NOB=90°
则点N在y轴上,
∴点N不在双曲线上
∴点N不存在.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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