数列{an} 中，a1=2，an+1=an+cn（c是不为零的常数，n=1，2，3，…），且a1，a2，a3成等比数列．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）求{an} 的通项公式；（Ⅲ）证明数列{an−cn - 超级试练试题库

题目

数列{a_n} 中，a₁=2，a_n+1=a_n+cn（c是不为零的常数，n=1，2，3，…），且a₁，a₂，a₃成等比数列．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求{a_n} 的通项公式；
（Ⅲ）证明数列{

提问时间：2021-04-02

答案

（Ⅰ）a₁=2，a₂=2+c，a₃=2+3c，因为a₁，a₂，a₃成等比数列，
所以（2+c）²=2（2+3c），解得c=0（舍）或c=2．
故c=2；（5分）
（II）当n≥2时，由于a₂-a₁=c，a₃-a₂=2c，a_n-a_n-1=（n-1）c，
所以an−a1＝[1+2++(n−1)]c＝

n(n−1)

c．
又a₁=2，c=2，故a_n=2+n（n-1）=n²-n+2（n=2，3，）．
当n=1时，上式也成立，
所以a_n=n²-n+2（n=1，2，）；（5分）
（Ⅲ）bn＝

an−c

＝n−1；b_n+1=n．b_n+1-b_n=1，
∴数列{

an−c

}是等差数列．（5分）

举一反三

已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．

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