题目

二次函数Y=X^2-(M^2-4M+5/2)-2(M^2-4M+9/2)的图象与X轴的交点为A、B两点（B点在A的右边）,与Y轴的交点为C
1、若三角形ABC为直角三角形,求M的值；
2、在三角形ACB中,若AC=BC,求角ACB的正弦值.

提问时间：2021-04-02

答案

解前分析：
我们知道,二次函数 y = ax2 + bx + c 与 X 轴交点的个数即为
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的实数根的个数；
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的实数根,就对应着
二次函数 y = ax2 + bx + c 与 X 轴交点的横坐标.
把方程 x2 -- ( m2 -- 4m + 5/2 ) x -- 2 ( m2 -- 4m + 9/2 ) = 0
左边分解因式,得：
（ x + 2 ）[ x -- ( m2 -- 4m + 9/2 ) ] = 0
∴ x1 = -- 2 x2 = ( m2 -- 4m + 9/2 )
考察 x2 ,x2 = ( m2 -- 4m + 9/2 ) = （m -- 2）的平方 + 1/2
故 x2 恒大于0,
而x1 = -- 2 ,即 x1 ＜0,∴ x2 ＞x1.
∴ A在左、B在右,坐标分别为：
A （ -- 2,0 ） B （m2 -- 4m + 9/2 ,0）
∴线段OA = 2,线段OB = m2 -- 4m + 9/2.
考察 y = x2 -- ( m2 -- 4m + 5/2 ) x -- 2 ( m2 -- 4m + 9/2 ) ,
当 x = 0 时,y = -- 2 ( m2 -- 4m + 9/2 )
∴ 点C 坐标为：【 0,-- 2 ( m2 -- 4m + 9/2 ) 】
∴ 线段OC = 2 ( m2 -- 4m + 9/2 ) .
本题第一问：若△ABC为直角三角形,由于AC 和 BC 均不垂直于 X 轴,
故,∠A 和 ∠B 均不可能等于90°
∴ 只有 ∠ACB = 90°
在∠ACB = 90°条件下,易证得Rt△AOC ∽ Rt△COB
∴ AO ：CO = OC ：OB
∴ OC的平方 = AO × OB （把OC、OA、OB 的值代入得下式）
∴【 2 ( m2 -- 4m + 9/2 )】的平方 = 2 × （ m2 -- 4m + 9/2 ）
解得：m = 2.
该方程有以下简便解法：
它表示一个正数【 2 ( m2 -- 4m + 9/2 )】的平方等于它本身.
∴这个正数只能为1.即：2 ( m2 -- 4m + 9/2 ) = 1
∴ m2 -- 4m + 9/2 = 1/2
∴ m2 -- 4m + 4 = 0 即 （m -- 2）的平方 = 0
∴ m = 2.
本题第二问：若AC=BC,则△ACB 为等腰三角形,故有 OB = OA .
∵ y = x2 -- ( m2 -- 4m + 5/2 ) x -- 2 ( m2 -- 4m + 9/2 )
=（ x + 2 ）[ x -- ( m2 -- 4m + 9/2 ) ]
又∵ 当 x = -- 2 时 y = 0
∴ 抛物线恒过点A（-- 2,0）,即 OA = 2.
由 OB = OA 得：OB = 2.∴点B坐标为（2,0）.
∴方程 x2 -- ( m2 -- 4m + 5/2 ) x -- 2 ( m2 -- 4m + 9/2 ) = 0
的两根之积为 A、B两点横坐标的乘积：2 × （-- 2）= -- 4.
另外由根与系数的关系知 两根之积为：【 -- 2 ( m2 -- 4m + 9/2 )】
∴ 【 -- 2 ( m2 -- 4m + 9/2 )】 = -- 4.（等式左边就表示点C的纵坐标）
∴ OC = 4.
至此,在等腰△ACB中,
底边AB = OA + OB = 2 + 2 = 4 ,
底边AB上的高OC = 4.
以下求sin∠ACB 有三种方法.
方法①：作AH ⊥ BC 于H.
已知 ∠ACO = ∠BCO OA = OB = 2 OC = 4
由勾股定理 知 AC = BC = 2√5.
∵ S△ACB = （1/2）× BC × AH = （1/2）× AB × OC
∴ BC × AH = AB × OC
∴ AH = （AB × OC）/ BC
= (4 × 4) / 2√5
= 16 / 2√5
∴ 在Rt△ACH 中,sin∠ACB = AH / AC
=（16 / 2√5）/ 2√5
= 4 / 5
(以下的方法② 和 方法③ 用到了 高中知识)
方法②：已知 ∠ACO = ∠BCO OA = 2 OC = 4
由勾股定理 知 AC = 2√5.
∴ sin∠ACO = OA / AC = 2 / (2√5) = 1 / √5
cos∠ACO = OC / AC = 4 / (2√5) = 2 / √5
∴ sin∠ACB = 2 × sin∠ACO × cos∠ACO
= 2 × （ 1 / √5 ） × （ 2 / √5 ）
= 4 / 5.
方法③：利用 等面积法.
已知 OA = 2 OC = 4
由勾股定理 知 AC = 2√5.
∵ S△ACB = （1/2）× AB × CO = （1/2）× AC × CB × sin∠ACB
∴ sin∠ACB = （AB × CO）/ (AC × CB)
= (4 × 4) / (2√5 × 2√5)
= 16 / 20
= 4 / 5.
题中的平方打得太大了,请见谅,祝您新春愉快!