题目

（2009•江西）如图1,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,过点E作EF∥BC交CD于点F．AB=4,BC=6
,∠B=60度．
（1）求点E到BC的距离；
（2）点P为线段EF上的一个动点,过P作PM⊥EF交BC于点M,过M作MN∥AB交折线ADC于点N,连接PN,设EP=x．
①当点N在线段AD上时（如图2）,△PMN的形状是否发生改变?若不变,求出△PMN的周长；若改变,请说明理由；
②当点N在线段DC上时（如图3）,是否存在点P,使△PMN为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的x的值；若不存在,请说明理由．
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提问时间：2021-04-02

答案

证明：（1）∵四边形ABCD为等腰梯形,
∴AB=CD,∠A=∠D．
∵M为AD的中点,
∴AM=DM．
∴△ABM≌△DCM．
∴BM=CM．
∵E、F、N分别是MB、CM、BC的中点,
∴EN= 1/2MC,FN= 1/2MB,ME= 1/2MB,MF= 1/2MC．
∴EN=FN=FM=EM．
∴四边形ENFM是菱形．
（2）结论：等腰梯形ABCD的高是底边BC的一半．
理由：连接MN,
∵BM=CM,BN=CN,
∴MN⊥BC．
∵AD∥BC,
∴MN⊥AD．
∴MN是梯形ABCD的高
又∵四边形MENF是正方形,
∴△BMC为直角三角形．
又∵N是BC的中点,
∴MN= 1/2BC．