题目

如图,锐角三角形ABC中,∠A=60°,BE垂直AC,垂足为E,CF垂直AB,垂足为F,点D是BC中点,BE交CF于M
（1）说明B,C,E,F四点总在同一个圆上（2）如果AB=AC,求证：三角形DEF是等边三角形（3）如果AB不等于AC,猜想三角形DEF的形状,并证明（4）如果CM=4cm,FM=5cm,求三角形DEF周长

提问时间：2021-04-02

答案

（1）、因为：∠BEC=∠BFC=90°
所以：B,C,E,F四点共元.
（2)、当AB=AC时,∠FBC=∠ECB=60°
所以：∠EBC=∠FCB=30°且△ABC是等边三角形
所以：BF=(1/2)BC,EC=(1/2)BC,即BF=CE=(1/2)BC,即EF是三角形ABC的中位线
所以：EF=(1/2)BC
而：ED,FD分别是直角三角形BCE和直角三角形BCF的斜边中线
所以：DE=DF=(1/2)BC
所以：DE=DF=EF ,即△DEF是等边三角形
（3）当AB不等于AC时,只有ED=FD=(1/2)BC成立.
所以：△DEF是等腰三角形
（4）由于∠A=60°
所以：△BFM和△CEM都是有一个锐角是30°的直角三角形
所以：BM=10,BF=5√3,ME=2,EC=2√3,
所以：在RT△BCE中由勾股定理求得BC=2√39
在RT△ABE和RT△ACF中,由30°角所对的直角边等于斜边一半等定理求得：
AB=8√3,AC=6√3
所以：AF=3√3,AE=4√3
由B,C,E,F四点共元得：∠AEF=∠FBC,∠AFE=∠ECB
所以：△AEF相似△ABC,
由相似比例求得EF的值,（你自己作一下）
同时：ED=FD=(1/2)BC=√39
于是求出△EFD的周长.