题目

已知

1−tanα

2+tanα

=1，求证：3sin2α=-4cos2α

提问时间：2021-04-01

答案

证明：因为

1−tanα

2+tanα

=1，
所以tanα=-

1

2

，即 2sinα+cosα=0．
要证3sin2α=-4cos2α，只需证6sinαcosα=-4（cos²α-sin²α），
只需证2sin²α-3sinαcosα-2cos²α=0，
只需证（2sinα+cosα）（sinα-2cosα）=0，
而2sinα+cosα=0，
∴（2sinα+cosα）（sinα-2cosα）=0显然成立，
于是命题得证．

由题意可得：可得2sinα+cosα=0，要证等式成立，只要证6sinαcosα=-4（cos²α-sin²α），只要证 （2sinα+cosα）（sinα-2cosα）=0，而由上可知，（2sinα+cosα）（sinα-2cosα）=0 成立，于是命题得证．

本题考点：二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系；二倍角的余弦．

考点点评：本题主要考查用分析法证明三角恒等式，关键是寻找使等式成立的充分条件．