题目

关于对弧长的曲线积分的一个公式的证明?
在同济大学编写的高等数学第五版下册中,第128页有个公式△S(i)=[∫根号（ф'(t))^2+(φ'(t))^2]d(t) (积分上下限为t(i)和t(i-1),式中" '"表示求导数," ^2"表示平方） .怎么证明?

提问时间：2021-04-01

答案

事实上这种证明过程无需掌握.
曲线积分中的ds表示的是弧长元素,也就是弧微分,在上册定积分的应用一章中,利用定积分计算曲线弧长时,得到公式：ds＝√[(dx)^2+(dy)^2],当曲线方程是直角坐标方程、参数方程、极坐标方程时,ds有不同的表达式,根据这些不同的表达式,确定出相应的积分上下限即可.
当曲线方程是参数x＝ф(t)),y＝φ(t)时,ds＝√[(ф'(t))^2＋(φ'(t))^2]dt